ModelinSSR'sini, eksi iki olmak üzere veri noktası gözlemlerinin sayısına bölün. Bu örnekte, üç gözlem vardır ve bunlardan ikisini çıkarmak bir tane verir. Bu nedenle, 0.26 olan SSR'nin bire bölünmesi 0.26 verir. Bu sonucu A olarak adlandırın. Sonuç A'nın kare kökünü alın. Elimizdebir doğru var. Ve bu doğrunun denklemi y eşittir herhangi bir sabit değer. Bu doğrumuzdaki sabit k olsun. y eşittir k. Elimizde bir de nokta var. Bu noktaya odak noktası denir.. Ve bu noktanın koordinatı da a virgül b olsun. a b noktası. Şimdi bu odak noktasıyla, doğrumuza uzaklıkları eşit olan noktalara bakalım.. İ " eksi birin kareköküne eşitse.. o halde " i " nin karesi eksi bire eşit olur İkinin kare kökünün rasyonel bir sayı olduğunu varsayarsak bu durumda A ve B tam sayı ve B sıfır olmadığı sürece ikinin karekökünün A üzeri B olduğunu söyleyebiliriz. Če domnevamo, Geçenvideoda, eğer bir hiperbolde x kare bölü a kare eksi y kare bölü b eşittir 1 denklemi varsa, hiperbolün odak noktası, bu iki sayının karelerinin toplamının köklerine eşittir. 0:04 - 0:11 . 0:11 - 0:16 . 0:16 - 0:18 . 0:18 - 0:19 . 0:19 - 0:23 a kare artı b karenin kökü. Ü5 Evet yani şimdi de 6 dan başlarsak; 6’nın karesi eksi 5’in karesi . artı 4’ün karesi eksi 3’ün karesi artı 2’nin kares i eksi 1’’in karesi eşittir 21. CZdq. merto5298 B şıkkı Adım adım açıklamaa nın karesi küpünden büyük olması için eksi olması bilgide ise a eksi b nin de eksi olması gerekir çünkü çarpımı artı olup eksi b den büyük olarak a - ve b- şıklar da bunu ister sayı istersen de işaretle denersen b nin doğru olduğunu göreceksin. 1 votes Thanks 1 Küp açılımı matematiğin ve özellikle çarpanlara ayırmanın en önemli konularından biridir. Hem a + b3 hem de a3 + b3 şeklindeki açılımlara kısaca öğrenciler küp açılımı demektedir. Ancak iki kavram birbirinden tamamen farklıdır. Parantez küp almak ve ayrı ayrı küpleri toplamak farklı sonuçlar vermektedir. Bu yazıda küp toplamı formülü ve genel olarak küp açılımı ile ilgili bütün formülleri vereceğiz. Formülleri ezberlemek yetmeyecek unutulabilir çünkü, bununla birlikte bol miktarda örnek çözülmeye dikkat edilecektir. Şimdi de bu özdeşliklerin üzerinde kısaca duralım. a küp artı b küp açılımı Adından da anlaşılacağı gibi a3 + b3 şeklindeki açılımdır. Yukarıda formülünü verdik zaten. Bu formül iki kare farkı formülünden sonra belki de matematikte en çok kullanılan formüldür. Hem iki kip toplamı hem de iki küp farkı formülleri aşağıdaki gibidir. a3 + b3 = a + b.a2 – ab + b2 a3 – b3 = a – b.a2 + ab + b2 Sorularda a küp artı b küp açılımı genellikle kesirli sadeleştirme sorularında bol miktarda karşımıza çıkmaktadır. Buradaki en önemli nokta işaretlere dikkat etmektir. İşlem toplama işlemiyse birinci parantezin + ve ikinci parantezin ortasının – olduğuna dikkat ediniz. Aynı şekilde işlem çıkarma işlemiyse de birinci parantez – ve ikinci parantezin ortası + olur. Bu formülü iyi özümsemek hem çarpanlara ayırma konusunda hem de diğer konularda rahat işlem yapmaya olanak sağlayacaktır. Aksi taktirde bununla karşılaşsak dahi zorlanırız. Toplamın ve Farkın Küpü Formülü Toplamın küpü ya da farkın küpü adından da anlaşılacağı gibi parantez küp alma işlemidir. Yani önce toplama veya çıkarma yapılmakta, çıkan sonucun küpü alınmaktadır. Küp açılımı, 4. kuvvet açılımı, 5. kuvvet açılımı gibi konuların iyi anlaşılması için binom açılımını bilmek gerekir. Çünkü bu işlemlerin yapılmasında katsayılar binom açılımından gelmektedir. Küp için katsayılar 1, 3, 3, 1 şeklindedir. Öyleyse toplamın küpü ve farkın küpü açılımları şöyle olacaktır a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Dikkat ederseniz a’nın kuvvetleri her kademede azalırken b’nin kuvvetleri de her kademede artmaktadır. Bunu 4. kuvvet açılımı için de aynen uygulayabilirsiniz. Bütün bu açılımlarda dikkat etmeniz gereken şeylerden biri de aradaki işaret – olduğu zaman açılımda sırasıyla bir +, bir – koyarak devam ediyoruz. Üç Terimli Toplamın Küpü Bonus Ek olarak da bazı sorularda işimize yarayabilir düşüncesiyle üç terimli toplamın küpünü verelim a + b + c3 = a3 + b3 + c3 + 3[a + b + c.ab + ac + bc – abc] Bu formül matematikte çok karşımıza çıkmayabilir. Ya da çıktığında da sorunun muhtemelen başka bir çözüm yolu vardır. Çünkü bu kadar uzun ve karmaşık formülleri ezbere bilmemizi kimse bizden beklemez. Ancak iki terimli küp açılımı soruları çarpanlara ayırma sorularının temel unsurlarıdır. Bu nedenle yukarıda verdiğimiz formüllerin çok iyi anlaşılması ve bol miktarda örnek çözülmesi gerekmektedir. Küp Açılımı Soruları ve Çözümleri Örnek sorular çözüp çözümlerini paylaşalım. Böylece yukarıda gördüğümüz açılımlar daha iyi öğrenilmiş olur. Size de bu konuda bol miktarda örnek çözmeyi tavsiye ediyoruz. Soru 1 Ayşe x3 + 8 ifadesini çarpanlarına ayırmak istiyor. Buna göre Ayşe’nin bulması gereken cevap nasıldır? A x + 2.x2 – 2x + 4 B x – 2.x2 – 3x + 4 C x – 2.x2 + 4x + 2 D x + 2.x2 – 2x – 4 E x – 2.2x2 – 4x + 2 Çözüm Burada küp açılımı uygulamak için 8’i de 2’nin küpü olarak yazmak gerekir. Öyleyse öncelikle x3 + 23 elde edilecektir. Ardından yukarıdaki küp toplamı kullanılırsa x + 2.x2 – 2x + 4 elde edilir. Cevap A seçeneğidir. Soru 2 Aşağıdaki bazı ifadeler verilmiştir. Bu ifadelerden hangisi x3 – 8y3 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış halidir? A x + 4yx2 + 2xy + 2y2 B x + 2yx2 + 4xy + 4y2 C x – 4yx2 +4xy + 8y2 D x – 2yx2 + 2xy + 4y2 E x – 2yx2 + 2xy + 2y2 Çözüm Seçenekler birbirine benzemektedir. Burada küp farkı şeklinde ifade etmemiz gerekiyor. 8y3 2y3 şeklinde yazılabilir. Böyle yazdığımızda eşitliğimiz x3 – 2y3 olur. Formülü uyguladığımızda x – 2yx2 + 2xy + 4y2 şeklinde bulunur. Yani cevap D seçeneğidir. Soru 3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = 27 eşitliği verilmiştir. Buna göre a + b kaç bulunur? A 2 B 3 C 6 D 8 E 9 Çözüm Yukarıdaki ifade tam olarak a + b3 yani parantez küp alma işleminin sonucudur. Öyleyse a + b nin bulunması için küp kök almak gerekir. 27’nin küp kökü de 3 olduğuna göre cevap B seçeneğidir. Soru 4 2x – y = 4 eşitliği verilmiştir. Buna göre 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 ifadesinin değeri ne olur? A 2 B 4 C 16 D 48 E 64 Çözüm Dikkatli incelersek iki ifade arasındaki ilişkiyi görebiliriz. 2x – y ifadesinin küpünü alırsak 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 ifadesini elde ederiz. Öyleyse 4’ün de küpünü alalım. 43 = 64 olduğuna göre doğru cevap E seçeneğidir. Geçen videoda, eğer bir hiperbolde x kare bölü a kare eksi y kare bölü b eşittir 1 denklemi varsa, hiperbolün odak noktası, bu iki sayının karelerinin toplamının köklerine eşittir. . . . . a kare artı b karenin kökü. Bu videoda size bir şey göstermek istiyorum. Aslında, buradaki denklem sola ve sağa açılan bir hiperboldür. . . Çünkü bunlar sona ulaşmayanasimptot noktalardır. Bunlar eksenler. x bölümü pozitif olduğu için. y bölümü pozitif olsaydı ve x terimi negatif olsaydı, hiperbol böyle yukarı ve aşağı doğru açılacaktı. . . Bu videoda gösterdiklerim, yalnızca cebir işi. y'nin durumunda da olduğu gibi, x ve y lerin yerini değiştiriyoruz. . . Bunun farkına varmanızı istedim. Sağı ve solu açan belirli bir hiperbol üzerine bir şeyler göstereceğim. . Bu hiperbole yatay hiperbol de diyebiliriz, dikeyin yanında başka hiperboller olduğunu göstermek istedim. . . Her neyse, anlamak için grafiği çizelim. Odak noktalarının ne olduğunu anlayalım. Bunlar eksenlerim. . Bu hiperbolün sonuşmazlarını y eşittir artı ya da eksi b bölü a doğrusu üzerinden bulacağızç . Oh, doğru çizgisi. O zaman, bu biri, bu da diğeri. Hiperbol böyle bir şey. Böyle gözüküyor. Virgül 0 da kesecek, burada. Bu bir virgül 0 olacak. Ve ekside kesecek virgül 0. Önceki videoda gördük. Böyle bir olacak. Odak noktaları burada bir yerde olacak. . Burada ve burada. Odak uzunluğu, a kare a b kare. a artı b nin kare kökü. Buradaki uzaklığı verecek. Uzaklık ise odak uzunluğu. Bu nokta f,0 ve burası da -f,0. . Önceki videoda, hiperbolün diğer tanımlarından birinin, iki odak noktasının farkını aldığımda bütün noktaların ya da nokta kümelerinin olduğu yer. Bu fark belirli bir sayı olacak. . . . . Eğer bu sayıya x, y dersek, bu nokta denklemi sağlayan her hangi bir nokta olabilir. Hiperboldeki herhangi bir noktaysa, buradaki uzaklığı bulursak-d1 diyelim- ve büyük olan odak noktasından çıkaralım- d2- diyelim. Bu sayı bize hiperbolün neresinde olduğumuzu verecek. . . . . . . Aslında denklemi sağlayan bütün noktalar. . Geçen videoda öğrendik ki, yalnızca uzaklığı hesaplayarak, bu noktayı bulduk ve dedik ki bu uzaklık eksi bu uzaklık nedir? . . 2a olduğunu bulduk. O zaman d1 eksi d2 eşittir 2a. . Bulduğumuzu burada kullanalım, d1 eksi d2 eşittir 2a, bunu kanıtlayalım şimdi. . Burada. Öncelikle d1 ve d2 nin ne olduğunu bulalım. Yalnızca bu denklemi kullanacağız. d1 nedir? d1, bu nokta ve -f,0 noktası arasındaki uzaklık. Yalnıza uzaklık formülünü kullanağız, yalnızca pisagor teoremi . x lerin farkı. x uzaklığı. o zaman, x - - f in karesi artı y uzaklığı, y eksi 0. bu da yalnızca y demek. . Bunun kare kökünü bulalım. bu d1, işte burada. d1. d2 yi bundan çıkarmak istiyoruz. uzaklıkların farkı ise eğer bulacağımız, bu durumda d1 kesinlikle d2 den büyük olacak. . Eğer emin değilseniz mutlak değer içine alabilirsiniz. . Burada, x - f in karesi, artı y 2 karenin kökü var. . Bu neye eşit? Daha önce bunun 2a ya eşit olduğunu söyledik. O da buradaki uzaklığa eşit. . Biraz karışık gibi gözükebilir, dikkat hatası yapmamaya dikkat etmek gerekiyor. . O zaman bu da -yer kazanmak için küçük yazacağım- x artı f in karesi artı y karenin kare kökü eşittir 2a artı x - f in kare artı y karenin kare köküne eşit olacak. . . . Bu köklü sayılardan kurtulalım. İki tarafın da karesini alalım. . Sol tarafın karesi x artı f in karesi artı y nin karesine eşit olur. . Diğer tarafın karesi için önce ilk terimin karesini alıyoruz ki o da 4a kareye eşit. . Daha sonra 2 terim çarpıp bunu da 2 ile çarpıyorduk. Bu ifadenin karesini alıyoruz. -Burada iki terimle cebirln tekrarının yapıyor gibi olacağız- bu da eşittir 2a çarpı 2a. 4a çarpı x -f in karesi artı y nin karesi. Burada kaybolmasını istemiyorum. Bu ifadenin karesini alıyoruz. İki terimli ifadeleri toplamak kaldı. Bu da eşittir- yalnızca köklerden kurtulmak kaldı- Bu renkte kalacağım- x eksi f kare artı y kare. . . Birtakım sadeleştirmeler yapabiliriz. . iki tarafta da y kare var. Bunları yok edelim. . iki taraftan da y kare çıkaralım. . x in karesi artı 2xf artı f in karesi oldu burası. Bu da 4a nın karesi artı 4a çarpı x -f in karesi a y karenin kare köküne eşittir. . Bunu dışarıya aktaralım. x kare eksi 2xf artı f kare. Neleri sadeleştirebileceğimizi görelim. iki tarafta da x kare var, iki taraftan da x kareyi çıkaralım. . iki tarafta da f kare var bunları da sadeleştirelim. . Sadeleştirmek için ne yapabiliriz diye düşünelim. elimizde bir eksi 2xf var birde artı 2xf. iki tarafa 2xf ekleyelim, bu terimi buraya alalım. . iki tarafa da 2xf eklersek, görelim- telefonum çalıyor, onu kapatayım- iki tarafa da 2xf eklersek, ne olur? . . 4xf olur, - bu terimi sol tarafa aldım- bu da 4a kare artı 4a çarpı x eksi f in karesi artı y kareye eşit olur. . . Cebirde hata yapmak kolaydır. Yaptığımız her şeyi hatırlayın, bunu size hatırlatmak için bu noktaya değindim. Şimdi yaptığımız şey bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulmaktı. Bu uzaklık da bu denklem hiperbolle bağlantılıdır. . . . Bu a'lar ve b'ler. 4a yı bu tarafa alalım, elimizde 4xf eksi 4a eşittir, 4a çarpı bu ifade. Bunu dışarı çıkaralım. x kare - 2xf artı f kare artı y kare. . . . Böyle çıktı dışarı. y kare de burada. iki tarafı da 4 e bölelim. Tek yaptığım mümkün olduğu kadar sadeleştirme yapmak, bundan sonra xf - a nın karesi eşittir, a çarpı bu ifadenin kare kökü. . . x kare eksi 2xf artı f kare artı y kare. İki tarafın da karesini alacağız. . iki tarafında karesini alırsa, bu taraf x kare çarpı f kare eksi 2a kare xf artı a üzeri dört olur. . . Bu tarafın karesi aldık. Burası da, sağ tarafın karesini alınca, a kare çarpı bu ifadenin köksüz hali yani x kare eksi 2xf a f in kare artı y kare olacak. . . Bu biraz karışık gözüküyor. Ne yapabileceğimizi bir görelim. İki tarafı da a nın karesine bölelim. x kare - mümkün olduğu kadar sadeleştirmeye çalışıyorum- a kareler gitti- eksi 2xf artı a üzeri dördü a nın karesine böldük. . . . Yani, a kare eşittir x kare eksi 2xf artı f kare artı y kare. . Bir yerlere ulaştık. Bir şeyler sadeleşmeli. İki tarafta da 2xf var, bunları sadeleştirelim. . Biraz daha sade olsun denklemimiz. Bakalım. İki taraftan da x kare çıkartalım. O zaman elimizde- yazayım- elimizde x kare çarpı f kare bölü a kare - x kare var. . Bu y kareyi denklemin bu tarafına yerleştirelim. eksi y kare. Bunu bu tarafa aldım. Birkaç adımı atlıyorum- bunu buradan alıp diğer tarafa taşıyalım. . . x ve y leri aldık, bunları iki taraftan da çıkardık. . Sol tarafta kaldılar. eğer iki taraftan da a kareyi çıkarırsak, f kare eksi a kare kalır elimizde. . . Bulmaya yaklaştık. bunu çarpanlarına ayırabiliyor muyuz bir bakalım. . Bu ifade f in karesi bölü a nın karesi eksi çarpı x kare oluyor. . x kare parantezine aldım, eksi y kare eşittir f kare eksi a kare. . İki tarafı da buradaki ifadeye bölelim. Biraz tanıdık gelmeye başlıyor. f kare bölü a kare eksi bir çarpı x kare bölü f kare eksi a kare eksi y kare bölü f kare eksi a kare eşittir bir. . . Eğer iki tarafı da bu ifadeye bölersem bu tarafta yalnızca bir kalıyor. . Bunu sadeleştirebilir miyiz bir görelim. . . Pay ve paydayı istediğim aynı sayıla çarpabilirim, yanıt yine bir olur, bir şey değişmez. . . Bunu yaparsam, pay f kare eksi a kare olur. . bunu a kare ile çarpıyorum. payda a kare çarpı f kare eksi a kare olur. . Bütün bunlar çarpı x kare. eksi y kare bölü f kare eksi a kare eşittir bir. . Bunlar sadeleşti. Hiperbol denklemine benzeyen ifadelere yaklaştık. . Enerjim geri geliyor! Tünelin sonundaki ışığı görür gibiyim. 1308 - 1315 added a translation ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER Tam Kare Özdeşliği İki Terim Toplamının Karesi a + b2 = a2 + 2ab + b2 İki Terim farkının Karesi a − b2 = a2 − 2ab + b2 Üç Terim Toplamının Karesi a +b + c2 = a2 + b2 + c2 + 2.ab + ac + bc İki Terim Toplamının Küpü a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 İki Terim Farkının Küpü a − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 İki Kare Farkı Özdeşliği a2 – b2 = a + b.a – b xn + yn veya xn − yn biçimindeki polinomların Özdeşliği İki küp Toplamı a3 + b3 = a + b.a2 – ab + b2 İki küp Farkı a3 − b3 = a − b.a2 + ab + b2 a4 – b4 = a2 + b2.a + b.a – b a5 + b5 = a + b.a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4 a5 – b5 = a – b.a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4 a6 – b6 = a – b.a2 + ab + b2.a+ b.a2 − ab + b2 a7 + b7 = a + b.a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6 a7 – b7 = a – b.a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6 Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz x2 + y2 = x + y2 – 2xy x2 + y2 = x – y2 + 2xy x – y2 = x + y2 – 4xy x + y2 = x – y2 + 4xy x3 – y3 = x – y3 + 3xy x – y x3 + y3 = x + y3 – 3xy x + y x2 + y2 + z2 = x + y + z2 – 2 xy + xz + yz Ortak Çarpan Parantezine Alma * a+b.x * x2+2x=x.x+2 * x2y+y=y.x2+1 * x2-2xy=x.x-2y * x+2.b+a.x+2=b+a.x+2 Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma * ax+bx+ay+by=x.a+b+y.a+b=x+y.a+b * x3-x2+x-1=x2.x-1+x-1=x-1.x2+1 * xy-4x-4y+16= xy-4-4y-4 = y-4.x-4 İki Küp Farkı x3 — y3 = x — y.x2 + xy + y2İki Küp Toplamı x3 + y3 = x + y.x2 — xy + y2İki Küp Farkı Örnek Soruları ve Çözümleri Örnek 1 x3 — 27 ifadesini çarpanlarına ayırınız. Çözüm Soruyu iki küp farkı haline getirmek için 27 sayısının 33 şeklinde yazarız. Bu durumda ifademiz x3 — 33 şeklinde olacaktır. x3 — 33 = x — 3.x2 + 3x + 9 Örnek 2 8a3 — 64b3 ifadesinin eşitini bulunuz. Çözüm Soruyu iki küp farkına çevirmek için 8a3 — 64b3 ifadesini 2a3 — 4b3 şeklinde yazarız. Bu durumda özdeşliği yazarsak 2a3 — 4b3 = 2k — 5m. 4a2 + 8ab + 16b2 Örnek 3 a — b = 10 ve = 30 olmak üzere a3 — b3 ifadesinin eşiti kaçtır? Çözüm a3 — b3 ifadesini açalım. a3 — b3 = a — b.a2 + ab + b2 olur. Burada a — b ve ifadelerini biliyoruz. İhtiyacımız olan tek şey a2 + b2 ifadesini bulmaktadır. Bunu bulmak için de a — b ifadesinin karesini alalım. a — b2 = a2 + b2 — 2ab olur. Formülde bildiklerimizi yerine yazarsak 102 = 100 = a2 + b2 — olur. Buradan da a2 + b2 =160 bulunur. Şimdi özdeşlikte hepsini yerine yazalım. a3 — b3 = a — b.a2 + ab + b2 = 10.160 + 30 = = 1900 bulunur. Tam Küp Farkı Tam küp farkı iki sayının farkının küpü iken İki Küp Farkı iki sayının küpünün farkıdır. Yani birinde parantez küp varken diğerinde parantez olmadan küp farkı anlamak için bu konuyla ilgili özdeşlikleri verelim. a3 − b3 = a − ba2 + ab + b2 a3 + b3 = a + ba2 − ab + b2 a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 Yukarıda küp farkı ve toplamı formülü de verilmiştir. Bu formülleri birbirine karıştırmamaya dikkat etmek gerekir. ax²+bx+c ifadesini çarpanlara ayırma ax²+bx+c ifadesi çarpanlara ayrılırken, ax² terimi iki çarpan haline getirilecek m ve n olsun ve c terimi de iki çarpan haline getirilecek p ve r olsun. Bu dört çarpan ikişer ikişer birbirleri ile çarpılıp toplandığında bx terimini verecek şekilde şeçilirler. Diyelim ki bu bx ifadesini vermiş olsun. O zaman çarpanlara ayrılmış hali ax²+bx+c=n+p.m+r dir. Örnek x²+12x+32 ifadesini çarpanlarına ayıralım. x²= 32= 8 çarpanı ile x çarpanı çarpılıp 8x, 4 çarpanı ile x çarpılıp 4x bulunur. 8x+4x toplamı x²+12x+32 ifadesindeki ortadaki terim olan 12x vermektedir. O zaman x²+12x+32 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali şöyledir. x²+12x+32=x+8.x+4 Örnek 20x²-x-12 ifadesini çarpanlara ayıralım. 20x²= -12= ve ve -16x+15x=-x olup 20x²-x-12 ifadesinin ortasındaki terimi verdiğinden. 20x²-x-12=5x-4.4x+3 Örnek 6x²+11x+3 ifadesini çarpanlara ayıralım. 6x²= 3= olduğundan 6x²+11x+3 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali 6x²+11x+3=3x+1.2x+3 tür. Kazanım Değerlendirme Kazanım Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler Formülleri Kazanımı Öğretme 100% Kazanım Örneklendirme 100% Answer 1 - Expert Answer

a eksi b nin karesi